Matemática: Técnicas Alternativas de Cálculo de Extremos de Funções

Em artigo recente, estudamos a técnica mais utilizada para determinar o valor extremo de uma função quadrática, através do vértice de sua função (veja aqui). Também realizamos uma discussão sobre a concavidade da parábola, verificando sua orientação através de seu sinal, implicando em um ponto de máximo ou mínimo.

Embora seja uma técnica simples e de rápida aplicação, existem maneiras alternativas para calcular estes valores. Duas destas técnicas serão apresentadas em nosso artigo de hoje, cabendo ao aluno decidir qual método utilizará no decorrer de questões deste tipo.

Para a apresentação destas técnicas utilizaremos uma função adaptada de uma questão presente no Enem 2015. O uso de uma função com valores deve tornar o entendimento do aluno melhor, pois conseguiremos de maneira rápida mostrar que todos os valores calculados serão iguais! A função que vamos utilizar será:

funcao1

Com base em nosso artigo anterior, já podemos concluir que a concavidade da parábola será voltada para baixo e então calcularemos seu valor máximo, o que era previsto no enunciado. A primeira técnica que utilizaremos hoje consiste em aplicar o valor da média aritmética das raízes da equação na mesma, obtendo neste caso o seu valor máximo. Aplicando este conceito temos que:

funcao2

Substituindo o valor da média (11) na função T(x):

funcao3

Assim, o valor máximo da função é 36.

Podemos ainda utilizar o conceito de derivada para obter este valor. Embora seja visto em algumas instituições de ensino médio, a derivada é um recurso do cálculo diferencial e integral. Como estamos trabalhando com uma função quadrática, podemos utilizá-la, visto que é de fácil entendimento. Assim, calcularemos a derivada da função e igualaremos a zero, obtendo a abscissa do ponto, que nada mais é do que a distância entre este mesmo ponto e o eixo vertical. Então:

funcao4

Substituindo na equação de T(x):

funcao5

Obtemos então o mesmo valor. Caso o aluno não compreenda o conceito de derivada, não há problema. Este é um recurso alternativo, e não afetará a sua preparação para o Enem! Para novamente confirmar as técnicas, vamos obter agora o valor máximo através de seu vértice:

funcao6

Assim, confirmamos que as três técnicas que apresentamos levam ao mesmo valor. Cabe agora a cada um definir qual delas possui maior compreensão, e o melhor jeito de decidir isso é praticando. Portanto, vamos ao trabalho!

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