Estudando as Sequências Matemáticas e Fibonacci

Quando vemos um artigo sobre sequências, imaginamos um assunto irrelevante, do qual já sabemos o necessário. Entretanto, uma sequência não é apenas um conjunto de elementos em ordem, sejam números, letras, pessoas, objetos. Existem vários aspectos delas que podemos estudar e é isso que faremos neste artigo.

Para os vestibulares, é importante entender as sequências numéricas, ou seja, conjuntos de números organizados em uma ordem. O conjunto (0, 1, 2, 3, 4, 5), por exemplo, é uma sequência, assim como (10, 9, 8, 7, 6, 5) ou (10, 20, 30, 40, 50). Elas podem ser compostas por números positivos, negativos, inteiros, frações, e não precisam necessariamente seguir uma ordem crescente.

Os exemplos citados apresentam início e fim, portanto podemos chamá-las sequências finitas. Quando não possuem fim, como por exemplo (1, 2, 3, 4, 5, …) ou (3, 2, 1, 0, -1, -2, …) chamamos sequências infinitas.

Cada um destes elementos é chamado de termo da sequência e cada um dos termos pode ser representado por uma letra, que geralmente é “a“, acompanhada pelo número que representa a posição do termo na sequência toda. Por exemplo, na sequência (0, 1, 2, 3, 4, 5), temos 6 termos, logo, teremos (a1, a2, a3, a4, a5, a6) sendo que a1 = 0, a2 = 1 e assim por diante. E representamos por an o enésimo termo da sequência, de pode ter qualquer posição.

Estas letras são importantes quando um termo, parte da sequência ou a sequência toda é desconhecida e precisamos encontrar os termos a partir de uma lei de formação da sequência, ou seja, uma equação que resultará nos termos dela. Um exemplo é an = n + 2, n ∈ N*. Temos que, para encontrar um termo da sequência, devemos somar 2 ao número que representa sua posição, sendo que este pertence aos números naturais excluído o 0.

O primeiro termo, a1, será

a1 = 1 + 2
a1=3

Logo, temos que a sequência se inicia com o número 3. O próximo termo é a2:

a2 = 2 + 2
a2 = 4

Continuando os cálculos, encontraremos a sequência (3, 4, 5, 6, 7, …)

Podemos também encontrar um termo sem saber a sequência inteira. Podemos, por exemplo, encontrar o a77.

a77 = 77 + 2
a77 = 79

Esse foi um exemplo de cálculo simples envolvendo uma sequência. Contudo, são comuns também equações mais complexas, como por exemplo an + 1 = an5 + 2an, n ∈ N*, sendo que a1 = 4. Neste caso, cada termo da sequência é calculado em função do anterior, logo, o primeiro termo deve ser conhecido, senão, não seria possível encontrar os outros. Partindo de a1 = 4, podemos então encontrar a2:

a2 = a15 + 2 x a1
a2 = 45 + 2 x 4
a2 = 1024 + 8
a2 = 1032

A partir de a2, é possível encontrar a3 e assim sucessivamente. Entretanto, neste tipo de sequência, não seria possível encontrar um termo distante sem conhecer a sequência toda, já que um termo depende de outro.

É importante lembrar que as progressões aritméticas (PA) e geométricas (PG) definem sequências. Entretanto, devemos lembrar também que nem toda sequência possui um cálculo para determinar seus termos. A sequência dos números primos, por exemplo, (2, 3, 5, 7, 11, 13, …) não pode ter seus termos calculados.

Sequência de Fibonacci

O matemático Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, propôs uma sequência muito importante e conhecida. A partir da fórmula Fn = Fn-1 + Fn-2, é possível observar que cada termo é representado pela soma dos dois anteriores. Com início em 1, o termo seguinte também é 1, depois a soma dos dois primeiros representa o terceiro, ou seja, 2, depois 2 + 1 = 3 e assim sucessivamente chegando à sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …).

Esta sequência gerou uma série de estudos posteriores não somente na matemática, mas também na geometria, arte e até biologia. A partir da sequência, é possível criar o chamado retângulo de ouro, com quadrados com lados iguais aos termos da sequência, e a partir deste o famoso espiral de Fibonacci, ambos vistos nas imagens abaixo.

Em biologia, este espiral pode ser encontrado em diversos seres vivos, ele é visto, por exemplo, em folhas de plantas, em pétalas de flores, na concha do molusco náutico e no rabo do camaleão. Além disso, ainda pensando nos estudos biológicos, a sequência de Fibonacci foi utilizada para entender o crescimento de uma população de coelhos.

A partir da divisão de um termo da sequência pelo seu antecessor, encontra-se um valor denominado razão áurea, próximo de 1,618, que é responsável pela denominada proporção áurea. Esta proporção pode ser observada em várias obras de arte, como por exemplo a Mona Lisa, de Leonardo da Vinci. Mas não é só nas pinturas que a proporção é encontrada, poetas, escultores, e principalmente arquitetos também utilizam até hoje a proporção em suas obras. Segundo muitos estudiosos, quando uma obra que não segue a proporção é comparada a outra semelhante que segue, a que segue é mais agradável aos olhos.

Na arquitetura, um exemplo comum é o Parthenon, em que a proporção é utilizada em toda a composição para criar uma estrutura harmônica. Já na literatura, um exemplo clássico é a Ilíada escrita por Homero, em que a proporção está no tamanho das estrofes.

Atualmente, os conhecimentos de Fibonacci continuam sendo utilizados. O tamanho dos cartões de crédito por exemplo, segue a proporção áurea, assim como alguns livros e revistas. O mercado financeiro é outro setor que utiliza a proporção em seus estudos.

Podemos observar que as sequências não são apenas números ordenados que não precisam ser estudados para as provas dos grandes vestibulares. A sequência de Fibonacci, estudada desde 1202, está presente em nosso cotidiano até hoje e muitas vezes não percebemos que os objetos que utilizamos, os locais onde moramos ou visitamos, até as partes do nosso corpo possuem as mesmas proporções que partes das pirâmides egípcias ou do Parthenon, por exemplo. Portanto, é importante entende-las e associar os diferentes ramos do conhecimento, o que certamente pode lhe ajudar no desempenho do Enem.

Compartilhar
Manual do Sisu e Prouni

Receba GRATUITAMENTE o Manual para Sisu e ProUni




Sim Não




Outros artigos que você vai gostar:




Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *