Entenda Tudo Sobre Progressão Aritmética (PA)

Uma dos conteúdos mais cobrados de matemática, tanto no Enem como em outros vestibulares, é a progressão aritmética (PA). Então, que tal entender direitinho o que é uma P.A?

Progressão Aritmética (PA) nada mais e do que uma sequência de números (a1, a2, a3…an) que segue uma “regra” muito simples: Qualquer termo (ou elemento) da sequência, diminuído do termo anterior, terá sempre o mesmo resultado, chamado de razão (r). Vamos dar um exemplo numérico para facilitar:

Imagine a seguinte sequência com seis termos:

(2, 5, 8, 11, 14, 17)

Podemos notar a seguinte relação:

a6 – a5 = 17 – 14 = 3
a5 – a4 = 14 – 11 = 3
a4 – a3 = 11 – 8 = 3
a3 – a2 = 8 – 5 = 3
a2 – a1 = 5 – 2 = 3

Ou seja, a sequência apresentada acima é uma P.A. Nela, temos 6 termos com os seguintes valores: a1=2,  a2=5,  a3=8,  a4=11,  a5=14 e  a6= 17. Além disso, a razão r desta PA é 3.

Após essa análise, percebemos uma propriedade que serve para qualquer P.A:

a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 +2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = a1 + 4r
a6 = a5 + r = a1 + 5r

Generalizando, teremos:

an = a1 + (n-1)r

Essa é a conhecida fórmula do termo geral da P.A. Com ela, podemos descobrir qualquer termo de qualquer PA apenas sabendo o primeiro termo (a1) e a razão (r). Imagine por exemplo uma PA com a1 = 3 e r = 4. Qual seria o décimo termo (ou a10) da sequência? Simples, basta aplicar a fórmula do termo geral que deduzimos anteriormente:

a10 = a1 + 9r
a10 = 3 + 9.4
a10 = 39

Fácil não é? Aliás, dependendo da razão, podemos ter três tipos de P.A:

  • P.A crescente: r > 0. Seus termos estarão em ordem crescente.
  • P.A constate: r = 0. Seus termos serão todos iguais.
  • P.A decrescente: r < 0. Seus termos estarão em ordem decrescente

Caso tenha entendido a dedução da fórmula geral, o exemplo e os três tipos possíveis de PA, podemos falar um pouco sobre a soma dessa sequência. Vamos lá?

Soma da PA

Imagine uma P.A com n termos. Uma característica interessante à qualquer P.A é a seguinte:

a1 + an = a2 +a(n-1) = a3 + a(n-2) … e assim por diante!

Não acredita? Vamos utilizar a mesma PA do começo do artigo (2, 5, 8, 11, 14, 17). Como já vimos, nela temos seis termos. Faça as seguintes contas:

a1 +a6 = 2 + 17 = ?
a2 +a5 = 5 + 14 = ?
a3 +a4 = 8 + 11 = ?

Você acha coincidência todas essas contas darem 19? Claro que não! Inclusive, através dessa propriedade, podemos deduzir a fórmula da soma de uma P.A de n termos (Sn)! Basta pegar a soma de um par (a1 + an) e multiplicar pela quantidade de pares (n/2). Assim, teremos:

Sn = (a1+an). n/2

Ou seja, tendo apenas o primeiro termo (a1), o enésimo termo e o número de termos de uma P.A, podemos calcular a soma de todos seus elementos! Vamos testar:

Qual a soma da P.A usada de exemplo neste artigo ? Chamaremos essa soma de Sn. Primeiro, vamos fazer da maneira tradicional:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6
Sn = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17
Sn = 57

Agora, vamos aplicar a fórmula:

Sn = (a1+an). n/2

Sn = (2+17). 6/2

Sn = 19. 3

Sn = 57

Percebeu como a aplicação da fórmula da soma de uma P.A é eficiente?

Resumindo: Progressão Aritmética (P.A) é uma sequência numérica que o próximo termo sempre é o anterior acrescido da razão. Qualquer termo da P.A pode ser calculado com a seguinte fórmula:

an = a1 + (n-1)r

Já a soma da P.A, pode ser calculada da seguinte maneira:

Sn = (a1+an). n/2

Inclusive, demonstramos e demos exemplos da aplicação das duas fórmulas.

E aí, gostou?

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3 Comentários

Marcelo

Queria mais coisa, aqui só tem o básico mesmo. Na verdade nem sei o que eu quero só sei que queria mais que isso 😂😂😂😂😂

Responder

Estudando as Sequências Matemáticas e Fibonacci • infoEnem | infoEnem

[…] importante lembrar que as progressões aritméticas (PA) e geométricas (PG) definem sequências. Entretanto, devemos lembrar também que nem toda […]

Responder

estefany

não entendi nada.

Responder

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