Entenda Tudo Sobre Progressão Aritmética (PA)

Uma dos conteúdos mais cobrados de matemática, tanto no Enem como em outros vestibulares, é a progressão aritmética (PA). Então, que tal entender direitinho o que é uma P.A?

Progressão Aritmética (PA) nada mais e do que uma sequência de números (a₁, a₂, a₃…a_n) que segue uma “regra” muito simples: Qualquer termo (ou elemento) da sequência, diminuído do termo anterior, terá sempre o mesmo resultado, chamado de razão (r). Vamos dar um exemplo numérico para facilitar:

Imagine a seguinte sequência com seis termos:

(2, 5, 8, 11, 14, 17)

Podemos notar a seguinte relação:

a₆ – a₅ = 17 – 14 = 3
a₅ – a₄ = 14 – 11 = 3
a₄ – a₃ = 11 – 8 = 3
a₃ – a₂ = 8 – 5 = 3
a₂ – a₁ = 5 – 2 = 3

Ou seja, a sequência apresentada acima é uma P.A. Nela, temos 6 termos com os seguintes valores: a₁=2,  a₂=5,  a₃=8,  a₄=11,  a₅=14 e  a₆= 17. Além disso, a razão r desta PA é 3.

Após essa análise, percebemos uma propriedade que serve para qualquer P.A:

a₂ = a₁ + r
a₃ = a₂ + r = a₁ +2r
a₄ = a₃ + r = a₁ + 3r
a₅ = a₄ + r = a₁ + 4r
a₆ = a₅ + r = a₁ + 5r

Generalizando, teremos:

a_n = a₁ + (n-1)r

Essa é a conhecida fórmula do termo geral da P.A. Com ela, podemos descobrir qualquer termo de qualquer PA apenas sabendo o primeiro termo (a1) e a razão (r). Imagine por exemplo uma PA com a₁ = 3 e r = 4. Qual seria o décimo termo (ou a₁₀) da sequência? Simples, basta aplicar a fórmula do termo geral que deduzimos anteriormente:

a₁₀ = a₁ + 9r
a₁₀ = 3 + 9.4
a₁₀ = 39

Fácil não é? Aliás, dependendo da razão, podemos ter três tipos de P.A:

• P.A crescente: r > 0. Seus termos estarão em ordem crescente.
• P.A constate: r = 0. Seus termos serão todos iguais.
• P.A decrescente: r < 0. Seus termos estarão em ordem decrescente

Caso tenha entendido a dedução da fórmula geral, o exemplo e os três tipos possíveis de PA, podemos falar um pouco sobre a soma dessa sequência. Vamos lá?

Soma da PA

Imagine uma P.A com n termos. Uma característica interessante à qualquer P.A é a seguinte:

a₁ + a_n = a₂ +a_(n-1) = a₃ + a_(n-2) … e assim por diante!

Não acredita? Vamos utilizar a mesma PA do começo do artigo (2, 5, 8, 11, 14, 17). Como já vimos, nela temos seis termos. Faça as seguintes contas:

a₁ +a₆ = 2 + 17 = ?
a₂ +a₅ = 5 + 14 = ?
a₃ +a₄ = 8 + 11 = ?

Você acha coincidência todas essas contas darem 19? Claro que não! Inclusive, através dessa propriedade, podemos deduzir a fórmula da soma de uma P.A de n termos (S_n)! Basta pegar a soma de um par (a₁ + a_n) e multiplicar pela quantidade de pares (n/2). Assim, teremos:

S_n = (a₁+a_n). n/2

Ou seja, tendo apenas o primeiro termo (a₁), o enésimo termo e o número de termos de uma P.A, podemos calcular a soma de todos seus elementos! Vamos testar:

Qual a soma da P.A usada de exemplo neste artigo ? Chamaremos essa soma de S_n. Primeiro, vamos fazer da maneira tradicional:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆
S_n = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17
S_n = 57

Agora, vamos aplicar a fórmula:

S_n = (a₁+a_n). n/2

S_n = (2+17). 6/2

S_n = 19. 3

S_n = 57

Percebeu como a aplicação da fórmula da soma de uma P.A é eficiente?

Resumindo: Progressão Aritmética (P.A) é uma sequência numérica que o próximo termo sempre é o anterior acrescido da razão. Qualquer termo da P.A pode ser calculado com a seguinte fórmula:

a_n = a₁ + (n-1)r

Já a soma da P.A, pode ser calculada da seguinte maneira:

S_n = (a₁+a_n). n/2

Inclusive, demonstramos e demos exemplos da aplicação das duas fórmulas.

E aí, gostou?