Soma de Probabilidades e Complementar de Evento

Em artigo recente, definimos aqui no infoEnem o conceito inicial da probabilidade (confira aqui). Nesta matéria apresentaremos a definição de complementar de evento e também a soma da probabilidade entre dois ou três eventos, assim como sua definição.

Para nossas propriedades iremos considerar os como possíveis eventos A, B e C, todos contidos dentro de um espaço amostral S. Nossa primeira definição do artigo será o complementar do evento. Considerando o evento A, definimos o complementar de A(Ac) como sendo o evento que completa o evento inicial dentro de seu espaço amostral. Deste modo, podemos definir três propriedades que envolvem um evento e seu complementar, que são:

complementar_evento1

De fato, percebemos que ambas as propriedades satisfazem a definição de evento complementar. Na primeira propriedade verificamos que a união da probabilidade dos dois eventos soma 100% da probabilidade dentro do espaço amostral, o que implica diretamente na segunda propriedade. Como são eventos complementares, não possuem pontos em comum, assim a sua interseção é nula, verificando a terceira propriedade.

Considerando os eventos A e B, definimos a probabilidade da união destes dois eventos como:

soma_probabilidades1

soma_probabilidades2

Analisando o Diagrama de Venn da situação, podemos analisar e entender o motivo pelo qual devemos descontar o valor da interseção entre A e B para calcular sua probabilidade. De forma rápida, se formos somar a probabilidade de cada um separadamente, estaríamos realizando a soma da região de interseção duas vezes, por isso devemos descontar uma delas para que a probabilidade indique o seu valor exato.

Utilizando um raciocínio análogo, podemos definir a soma de três eventos A, B e C como:

soma_probabilidades3

Seguindo o mesmo raciocínio anterior, vemos que estaríamos somando duas vezes as regiões de interseção entre duas regiões, porém ao retirá-las, descartamos também a região de interseção entre os três conjuntos. Deste modo, devemos somá-la para obter a probabilidade correta.

A soma de probabilidades de conjuntos é um conceito fundamental dentro da probabilidade, pois dificilmente encontraremos problemas com um único evento, sendo então necessário combiná-los. Adiante estudaremos outras formas de combinação entre os eventos, abordando também as suas devidas propriedades.

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