Medidas de Dispersão: amplitude, variância e desvio padrão

Já estudamos anteriormente medidas de tendência central, que são aquelas capazes de representar um conjunto numérico com um determinado número de variáveis, que são: a média, a mediana e a moda de um conjunto. No entanto, como já sabemos, existe uma diferença entre as tendências e os valores do conjunto, que podem ser determinados de acordo com as medidas de dispersão, as quais vamos aprender a seguir.

Medidas de Dispersão

Os conceitos que estudaremos a seguir serão: Amplitude, desvio, variância e desvio padrão. Para isso, vamos utilizar o seguinte conjunto numérico:

P = {2, 4, 9, 13, 15, 17}

Como já estudamos em postagens anteriores, a média aritmética simples deste conjunto é igual a 10.

A amplitude de um conjunto numérico pode ser definida como a diferença entre o maior e menor valor do conjunto. Para o conjunto P acima, a amplitude calculada é igual a:

A = 17 – 2 = 15

A amplitude pode ser utilizada para verificar se um conjunto de dados está estável ou não. Amplitudes muito elevadas mostram uma grande variação entre os limites do conjunto numérico, enquanto menores amplitudes indicam um equilíbrio no conjunto de dados.

Na sequência, podemos calcular o desvio em relação a média. O desvio em relação a média é calculado através do módulo da diferença entre cada valor e a média aritmética calculada. Para o nosso conjunto, os desvios calculados são:

d= |2 – 10| = 8

d= |4 – 10| = 6

d= |9 – 10| = 1

d= |13 – 10|= 3

d= |15 – 10|= 5

d=|17 – 10|= 7

O desvio pode indicar quão representativa está a média para o conjunto. Para desvios muito elevados, não faz sentido utilizar a média, pois não representa com clareza os dados do conjunto. Quando os desvios são menores, a média torna-se mais representativa.

Já a variância amostral de um conjunto é dada como a soma dos quadrados dos desvios em relação a média divido por n-1, onde n é o número de elementos do conjunto. Embora possa parecer complexa, a variância é calculada de maneira simples:

Fórmula da Variância

Como já havíamos calculado o desvio em relação a média, basta realizar a soma quadrada deles e então dividir por n-1 elementos:

Desvio em relação à média

Assim, concluímos que quanto maior o valor da variância, os elementos estão mais afastados da média. Ainda, podemos notar que a variância está relacionada com termos quadrados, o que pode dificultar a compreensão real da dispersão, aumentando mais ainda o resultado para grandes desvios ou reduzindo grandemente pequenos desvios.

Para eliminar a dependência dos quadrados presentes na variância, utiliza-se o desvio padrão. O desvio padrão é calculado como sendo a raiz quadrada da variância, ou seja:

Fórmula do Desvio Padrão

E para o nosso conjunto, o desvio padrão é igual a:

Desvio Padrão no Conjunto

O desvio padrão indica qual é o erro (desvio) médio cometido quando ao se utilizar a média para representar um valor qualquer do conjunto numérico. Quanto mais próximos os valores dentro do conjunto, menor será o desvio padrão e como afirmamos acima, mais representativa será a média em relação ao conjunto.

As medidas de dispersão são fundamentais para descrever os conjuntos, possibilitando assim determinar a representatividade de alguns valores, como a média aritmética, por exemplo. Deste modo, estes conceitos não são importantes somente para a realização de exames, mas também para o dia a dia, auxiliando na organização de conjuntos de dados!

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