EXPLORANDO O TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO

Anteriormente estudamos sobre as primeiras e mais simples formas de fatoração, que são a fatoração por fator comum e a fatoração por agrupamento ou colocação dos termos em evidência (você pode relembrar estes tipos de fatoração aqui!).

O próximo modo de fatoração a ser estudado é a fatoração através do trinômio do quadrado perfeito. Para que possamos utilizar este modelo de fatoração, a expressão a ser fatorada deve ser um trinômio e formar um quadrado perfeito. Mas o que é um quadrado perfeito?

Para um número, ser um quadrado perfeito indica que ele seja o resultado de outro número elevado ao quadrado. Por exemplo o número 100 é um quadrado perfeito, pois pode ser escrito como o número 10 elevado ao quadrado. Porém ao falarmos de expressões algébricas isso se torna um pouco diferente. Para isso, vamos considerar as combinações possíveis entre dois monômios (x+y) e (x+y), registrados na tabela a seguir:

Ainda podemos considerar como se esta tabela formada fossem áreas de diferentes quadriláteros. Deste modo, podemos ter um quadrado maior externo, de lados iguais e com dimensões iguais a x+y, cuja área será igual a:

Além disso, podemos dividir o quadrado principal em quatro pequenas seções, formados por cada um dos quatro termos das combinações, sendo assim, a área da região também pode ser escrita como:

Igualando as duas áreas:

Portanto, a expressão x + 2xy + y é um trinômio que tem como quadrado perfeito a expressão (x+y).

Nem todos os trinômios podem ser escritos como quadrados perfeitos, e escrever a tabela acima para todos os trinômios pode ser cansativo. Para isso, utilizamos uma maneira mais rápida de identificar os trinômios quadrado perfeitos. Com este modo, devemos tomar as raízes dos termos quadráticos do trinômio, e o termo de menor grau deve ser igual a duas vezes o valor da multiplicação das raízes que tomamos anteriormente, independentemente de seu sinal.

Observe o mesmo trinômio de nosso exemplo acima:

Ao tomar as raízes dos termos elevados ao quadrado, resultamos nos termos x e y. Além disso, o termo de menor expoente (2xy) é igual a duas vezes a multiplicação das raízes que extraímos, deste modo, o trinômio é um quadrado perfeito (como já sabíamos!). Note que o sinal positivo do termo de menor expoente faz com que o quadrado perfeito seja escrito como a soma das raízes, então:

No entanto, a mudança deste sinal no trinômio fará com que o quadrado perfeito também tenha o seu sinal alterado! Podemos dizer então que o trinômio

também é um trinômio do quadrado perfeito, que pode ser representado da forma:

Observe também que os coeficientes do trinômio seguem a ordenação dos coeficientes que trabalhamos no triângulo de Pascal (veja aqui!). Desta forma, mais uma forma de fatoração foi apresentada, fazendo ligação com outros conteúdos já abordados e possibilitando o desenvolvimento de mais uma ferramenta de resolução de problemas. Em breve, daremos sequência aos demais métodos de fatoração, destacando a sua importância e propriedades!

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