Neste artigo vamos estudar mais uma importante ferramenta da matemática: O triângulo de Pascal. Vamos ensinar como construir este triângulo, além de explicar algumas propriedades interessantes sobre este assunto, que pode ser uma boa ferramenta para a expansão de polinômios.
O triângulo de Pascal recebe este nome em homenagem ao matemático francês Blaise Pascal, o qual desenvolveu outros estudos importantes para a matemática e física. Este triângulo é basicamente um triângulo aritmético infinito, cujos termos representam os coeficientes das expansões binomiais. O fato interessante do triângulo de Pascal é que possui diversas relações e propriedades, que fazem com que não seja necessário decorá-lo, uma vez que poderemos montá-lo facilmente ao entender as suas propriedades.
Para entender o triângulo de Pascal devemos compreender inicialmente o que são coeficientes binomiais. Um número binomial qualquer é representado da seguinte forma:
Onde o numerador (n) e o denominador (p) são números naturais, com n ≥ p. O número binomial pode ser calculado através da equação:
Sendo o termo “!” o fatorial do número. Vamos calcular o número binomial do exemplo a seguir:
Feito isso, podemos construir o triângulo de Pascal. O triângulo é construído através dos números binomiais, onde os números que apresentam o mesmo numerador ocupam a mesma linha, e os números de mesmo denominador devem ocupar a mesma coluna. Sendo assim, o triângulo de Pascal assume a seguinte forma:
Deste modo, calculando os coeficientes binomiais acima, resulta na seguinte sequência:
E assim por diante, pois como informamos em sua definição, o triângulo de Pascal é infinito!
Entre as propriedades deste triângulo, vamos ressaltar as seguintes:
- Cada uma das linhas do triângulo de Pascal começa e termina pelo número 1, e isso pode ser demonstrado através do número binomial. O primeiro termo será:
- E o último termo da sequência será:
- Em cada linha, os termos equidistantes são iguais, ou seja, cada linha do triângulo de Pascal é simétrica em relação ao(s) seu(s) valor(es) central(is).
- A partir da segunda linha do triângulo, o valor de cada coeficiente pode ser calculado através da soma do termo imediatamente acima do valor desejado e do seu valor anterior, ou seja, o segundo coeficiente da terceira linha será igual a soma do primeiro e segundo coeficiente da segunda linha, e assim por diante!
Observe o segundo valor da quinta linha (4). Este coeficiente é formado pela soma do segundo coeficiente da quarta linha (3) e do primeiro coeficiente da quarta linha (1). Ao saber essa última propriedade, é possível construir o triângulo de maneira muito rápida e eficaz, pois elimina a necessidade do cálculo de todos os fatores binomiais. - A soma dos elementos de uma linha qualquer será igual a 2sup>n, onde n é o número da linha do triângulo.
Esses coeficientes do triângulo de Pascal são utilizados no desenvolvimento dos binômios de Newton, como você já deve ter reparado! Adiante, explicaremos com detalhes como relacionar estes coeficientes, mas primeiro devemos fixar estas propriedades para calcular o triângulo de maneira eficiente. Portanto, vamos ao trabalho!
