Estudando as Inequações do Primeiro Grau – Matemática

O que veremos a seguir é um assunto que você com certeza já lidou, mas pode ainda não ter realizado exercícios matemáticos sobre elas, que são as inequações. Aprenderemos então como resolvê-las, listando também propriedades importantes para a fixação desse conteúdo.

Uma inequação irá possuir a mesma forma de uma equação comum ax + b para inequações do primeiro grau ou ax2 + bx + c para inequações do segundo grau. A diferença estará justamente no sinal de referência: enquanto uma equação assume única e exclusivamente o sinal de igual (=), uma inequação pode assumir diferentes sinais, que são:

  • Maior >;
  • Maior ou igual ≥;
  • Menor < ;
  • Menor ou igual ≤ e;
  • Diferente ≠.

Para cada um destes sinais, a inequação irá assumir um significado diferente. Todavia, o método de resolução é o mesmo de uma equação, devemos agrupar os termos em comum e então efetuar as operações necessárias. A única situação que devemos estar atentos é em relação ao posicionamento do sinal da inequação em relação ao sinal da variável a ser calculada.

Quando a variável a ser calculada for positiva, devemos manter o sinal da inequação como está. Porém, quando a variável a ser calculada possuir um coeficiente negativo, devemos multiplicar a equação por -1 e inverter o sinal da inequação, ou seja, se o sinal for de maior passará a ser menor, e se for menor passará a ser maior. Vejamos a resolução da seguinte inequação:

2x + 4 ≥ x + 8

Devemos primeiramente agrupar os termos em comum, então:

2x – x ≥ 8 – 4
x ≥ 4

Visto que o sinal da variável calculada x é positivo, então mantemos o sinal como está e obtemos assim o resultado final da equação. Como o sinal indica maior ou igual, o conjunto solução da equação envolve todos os valores reais tais maiores ou iguais a 4. Em notação de conjunto, a solução é:

S = x ∊ R : x ≥ 4

Vamos agora resolver a mesma inequação, desta vez agrupando os termos em x do lado direito da equação:

2x + 4 ≥ x + 8

Então, agrupando os termos:

4 – 8 ≥ x – 2x
-4 ≥ -x

Desta vez, como o coeficiente da variável x possui sinal negativo, devemos multiplicar toda a inequação por -1, invertendo também o sinal presente. Assim:

4 ≤ x

Que como esperávamos, é a mesma solução obtida anteriormente.

Após entender o funcionamento de uma inequação, podemos listar algumas propriedades importantes:

  1. Propriedade reflexiva: A seguinte relação é sempre válida: x ≥ x ou x ≤ x
  2. Propriedade antissimétrica: Se x ≥ y e também y ≥ x, então, a única solução possível é: x = y
  3. Propriedade transitiva: Se x ≥ y e y ≥ w, então: x ≥ w
  4. Compatibilidade com adição e subtração: O acréscimo ou redução de um mesmo valor em ambos os termos não prejudica a inequação:
    x ≥ y
    x + w ≥ y + w
    x – w ≥ y – w
  5. Compatibilidade com a multiplicação e divisão: Para qualquer valor w ≥ 0, a multiplicação de ambas as variáveis da inequação não prejudicará o seu resultado final:
    x ≥ y
    x . w ≥ y . w
    x/w ≥ y/w

Essas propriedades são importantes para a sequência das aplicações de inequações, além de ajudar a fixar o conhecimento adquirido. Ainda assim, o principal cuidado a ser tomado é em relação a possível mudança de sinal da equação, mas com um pouco de prática este assunto será facilmente compreendido!

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