Entenda e Calcule a Relação de Euler e Poliedros Convexos

No artigo a seguir vamos estudar sobre a geometria, apresentando uma relação importante para os poliedros convexos, que é a relação de Euler. Vamos explicar o que é um poliedro convexo, além de definir a relação de Euler, explicando como utilizar esta relação.

A relação que vamos aprender abaixo leva o nome em homenagem ao importantíssimo matemático suíço Leonard Euler (1707-1783), que entre inúmeros trabalhos relacionados a diversas áreas da matemática apresentou também o número de Euler (e).

A relação de Euler relaciona a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Mas afinal, o que é um poliedro convexo? Antes de responder a essa pergunta vamos entender o que é um poliedro qualquer. Os poliedros são sólidos geométricos compostos por três elementos básicos: Faces, arestas e vértices. E conforme a disposição e posicionamento destes elementos os poliedros recebem nomes diferentes.

Poliedro Convexo

O poliedro é dito convexo quando um plano de uma face qualquer mantém todas as outras faces em um mesmo semiespaço, ou seja, o poliedro será convexo quando todos os planos das diferentes faces não “cortarem” o sólido formado. Observe as imagens a seguir:

Este poliedro é um exemplo típico de poliedro não convexo, uma vez que ao traçarmos um plano (representado em azul na figura acima!) que passa por uma face qualquer do poliedro, o mesmo é dividido em duas diferentes regiões! Já um cubo, por sua vez, é um poliedro convexo, já que qualquer plano que passe por uma de suas faces não cortará o poliedro.

Relação de Euler

Explicado isso, podemos agora apresentar a relação de Euler. Como foi falado, a relação de Euler é capaz de relacionar o número de vértices, faces e arestas de um poliedro convexo através da seguinte equação:

V – A + F = 2

Sendo V o número de vértices do poliedro convexo, A o número de arestas do sólido e F o número de faces do poliedro. Devemos destacar que qualquer poliedro que seja convexo vai apresentar esta relação! Veja alguns exemplos na tabela a seguir:

E esta mesma relação valerá para qualquer outro poliedro, desde que o mesmo seja convexo! Outro tópico interessante que devemos destacar é que a relação de Euler vale para todos os poliedros convexos, mas também vale para alguns poliedros que não são convexos! Desta forma, podemos dizer que todo poliedro convexo respeita a relação de Euler (ou podemos chamá-lo de Euleriano), mas nem todo poliedro Euleriano é necessariamente um poliedro convexo!

Este fato reforça ainda mais a necessidade de sabermos identificar quando um poliedro é convexo ou não! Sendo este o fator fundamental para a utilização desta relação. Com isso, esta relação pode ajudar e muito a identificar a quantidade de vértices ou arestas em alguns poliedros, uma vez que normalmente identificamos o número de faces com maior facilidade!

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