Entenda a Utilização da Lei dos Senos e dos Cossenos

Dentre os conteúdos da matemática, a trigonometria é certamente um assunto que é um dos mais cobrados em qualquer vestibular. Com o aumento da quantidade de questões interdisciplinares na prova do Enem, cujas questões costumam solicitar o conhecimento em conteúdos diferentes, a trigonometria ganha cada vez mais espaço, podendo ser uma saída muito eficaz para a resolução de questões em matemática e também da física.

No artigo de hoje, o infoEnem apresenta duas leis de suma importância na trigonometria, a lei dos senos e a lei dos cossenos, que se tornarão seguramente duas das suas ferramentes mais importantes na hora de resolver questões de exatas. Vamos lá?

Lei dos Senos

Para a lei dos senos, iremos considerar um triângulo qualquer inscrito em uma circunferência de raio R, como o da figura abaixo:

seno_cosseno

A lei dos senos conduz a uma relação entre as medidas dos lados do triângulo, o seno de seus ângulos opostos e o raio das circunferências. Equacionando a lei temos que:

seno_cosseno1

A forma de aparição mais comum desta lei é quando em triângulo, são conhecidos os seus ângulos e a medida de apenas um lado. Assim, a lei dos senos pode ser aplicada para a determinação dos demais lados ou até mesmo para a determinação do diâmetro da circunferência em que o triângulo está inscrito.

Lei dos Cossenos

Já na lei dos cossenos, vamos considerar mais um triângulo qualquer, com seus respectivos ângulos representados:

seno_cosseno2

A definição da lei dos cossenos indica que:


a2 = b2 + c2 – 2bc.cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac.cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab.cos ϒ

Ao contrário da lei dos senos, a lei dos cossenos torna-se importante na obtenção de elementos do triângulo, conhecendo mais lados do que ângulos. Sua aplicação é válida para todos os tipos de triângulo, mas no triângulo retângulo temos uma ocorrência interessante. Considerando o triângulo retângulo a seguir, ao aplicar a lei dos cossenos obtemos:

seno_cosseno3

c2 = a2 + b2 – 2ab.cos ϒ
c2 = a2 + b2 – 2ab.cos 90o
c2 = a2 + b2 – 0
c2 = a2 + b2

Assim, podemos verificar que o teorema de Pitágoras pode ser aplicado como sendo uma variação da lei dos cossenos.

Resumindo:

  • Dois lados e um ângulo: Aplicar a lei dos cossenos.
  • Dois ângulos e um lado: Utilizar a lei dos senos.

Em breve, traremos novamente sobre trigonometria, utilizando o seno de um ângulo qualquer em um triângulo, para calcular a sua área. Bons estudos e até mais!

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