Entenda a Multiplicação de Matrizes

Depois de aprender a determinar a transposta de uma matriz, e de realizar as operações de adição e subtração, hoje iremos aprender a realizar a multiplicação matricial, que possui demasiada importância para as operações que envolvem a utilização de matrizes.

Antes de entender o funcionamento da multiplicação matricial veremos como funciona a multiplicação de uma matriz por um escalar. Esta multiplicação ocorre de maneira bem simples, onde basta multiplicar o escalar pelos devidos termos da matriz, assim como ilustramos abaixo:

 
multipicacao1

multiplicacao2

Dadas duas matrizes A e B de dimensões quaisquer, além de dois escalares c e d, podemos definir que as seguintes propriedades são verdadeiras:

  • Distributiva: (A + B) x c = Ac + Bc
  • Associativa: c x (Ad) = (cd) x A
  • Elemento Neutro: c x B = B, para c = 1

Vamos agora para a multiplicação entre matrizes. O primeiro ponto que devemos destacar é que a multiplicação não é feita multiplicando os termos correspondentes! Os elementos da matriz resultante são obtidos pela multiplicação dos termos presentes na linha da primeira matriz pela coluna da segunda, ou seja:

 
multiplicacao3

 
multiplicacao4

Numericamente, temos:

 
multiplicacao5

 
multiplicacao6

 
multiplicacao7

Embora tenhamos utilizado matrizes quadradas em nossos exemplos anteriores, essa não é uma condição necessária para a realização da operação. Para que a multiplicação de matrizes seja possível, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da matriz seguinte. Como consequência disso, a matriz formada apresentará o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda, ou seja:

A2×4 x B4×3 = C2×3

Numericamente:

multiplicacao8

C = A x B

 
multiplicacao9

 
multiplicacao10

Com a mesma situação anterior, para a multiplicação entre matrizes também respeita as propriedades associativa e distributiva. Além disso, também respeita o elemento neutro, que neste caso especial é a matriz identidade, que já havíamos apresentado anteriormente. Porém a multiplicação matricial não respeita a propriedade comutativa, ou seja A x B ≠ B x A. Em nosso exemplo anterior podemos evidenciar isso, uma vez que a multiplicação B x A não seria possível, visto que o número de colunas de B não é igual ao número de linhas de A. Enquanto isso, a multiplicação ocorreu de maneira normal, afirmando o que se refere a propriedade comutativa.

Deste modo, chegamos ao fim da apresentação e definição das operações envolvendo matrizes, bem como suas propriedades e singularidades. Em breve, voltaremos a utilizá-las para a resolução de sistemas de equações, através da utilização de determinantes.

Até a próxima!

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