Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios

Em postagens anteriores estudamos alguns conceitos iniciais sobre polinômios, tais como a sua definição, o grau de um polinômio e também os seus tipos (leia mais). A seguir vamos iniciar os estudos que envolvem operações utilizando estes polinômios, explicando e exemplificando a adição, subtração e multiplicação destas expressões.

Operações com Polinômios

Começaremos pela adição e subtração. Estas duas operações utilizam diversas técnicas matemáticas, como a regra de sinais e redução de termos semelhantes. Embora pareçam técnicas complicadas, o que devemos fazer é agrupar os termos de mesmo grau, ou seja, os termos que possuem o mesmo expoente, respeitando os sinais envolvidos nos coeficientes da operação. A seguir vamos sugerir uma sequência para a realização destas operações, para isso vamos realizar a seguinte operação:

2x3+5x2-1+x2-x+2

O primeiro passo é distribuir o sinal da operação nos termos do segundo polinômio. Como o sinal é positivo, os termos não serão alterados. Assim, podemos retirar os parênteses da equação:

2x3+5x2-1 + x2-x+2

Feito isso, podemos então agrupar os termos de mesmo expoente, respeitando os sinais envolvidos em cada operação, como segue:

2x3+5x2+ x2-x+(-1+2)

Agora é possível agrupar os termos dentro dos parênteses, resultando na adição dos dois polinômios, que é igual a:

2x3+6x2-x+1

Vamos então realizar a operação de subtração, utilizando os mesmos polinômios acima. Então:

2x3+5x2-1x2-x+2

Do mesmo modo que realizamos acima, o primeiro passo é distribuir o sinal da operação para o segundo polinômio. Por se tratar de uma subtração, todos os termos do segundo polinômio terão o seu sinal invertido, ou seja:

2x3+5x2-1 – x2+x-2

De modo análogo, agrupando os termos de mesmo grau da expressão:

2x3+5x2– x2+x+(-1-2)

Sendo assim, o polinômio resultante desta subtração é igual a:

2x3+4x2+x-3

É possível perceber então que embora sigam o mesmo raciocínio de cálculo, os resultados serão bem diferentes. Seguir o raciocínio acima, podemos realizar estas operações com quaisquer polinômios, de maneira segura. Embora sejam operações simples, quando envolvem polinômios com muitos monômios, podem se tornar complicadas.

Feito isso, podemos falar sobre a multiplicação de polinômios. Para realizar a multiplicação entre polinômios devemos realizar a multiplicação de cada monômio de um polinômio por cada um dos monômios do polinômio seguinte, tomando cuidado com os sinais envolvidos e o grau de cada monômio resultante será dado pela soma dos expoentes dos monômios envolvidos, como já explicamos em nossa postagem anterior. Vamos realizar a seguinte multiplicação:

(x2+2x)×(x3-1)

Podemos então dividir o polinômio em vermelho, realizando em duas multiplicações separadas:

x2×(x3-1) +2x×(x3-1)

Ainda podemos dividir os termos entre parênteses, tomando o devido cuidado para não esquecer de nenhuma multiplicação:

x2×x3x2×1 +2x × x3-2x×1

Agrupando os termos, temos então:

x2+3x2+2x3+1-2x

Por fim, ordenando os termos em ordem decrescente de expoente:

x5-2x4x2-2x

Como você deve ter notado, não há nada de complexo ao realizar as operações de adição, subtração e multiplicação envolvendo os polinômios. O que devemos estar atentos, é que em situações que envolvem polinômios muito grandes, podemos esquecer de alguns termos ou não prestar atenção quanto ao sinal. Desta forma, devemos estar devidamente concentrados e atentos ao realizar estar operações. Também é possível realizar estas operações com três ou mais polinômios, seguindo o mesmo raciocínio! Na sequência, veremos outras operações utilizando os polinômios, até breve!

 

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